Tích là gì lớp 3

Trong toán học, tích toán học là kết quả của phép nhân, hoặc là một biểu thức nhận diện các nhân tố được nhân. Ví dụ: 6 tích của 2 và 3 (kết quả của phép nhân), còn  x ( 2 + x ) {displaystyle xcdot (2+x)}

là tích của  x {displaystyle x}

và  ( 2 + x ) {displaystyle (2+x)}

(chỉ ra 2 nhân tố nên được nhân với nhân).

Thứ tự mà số thực hoặc số phức được nhân không ảnh hưởng đến kết quả nhân; tính chất này gọi là tính giao hoán. Với nhân tử là ma trận toán học hoặc thành viên thuộc các số đại số kết hợp khác, tích toán học thường phụ thuộc vào thứ tự của nhân tử. Ví dụ, phép nhân ma trận và phép nhân trong các đại số khác nói chung là không giao hoán.

Có rất nhiều loại tích khác nhau trong toán học: ngoài việc là phép nhân giữa các số, đa thức hoặc ma trận, người ta cũng định nghĩa phép nhân trên nhiều cấu trúc đại số khác nhau. Tổng quan về các loại tích khác nhau được đưa ra ở đây.

Mục lục

• 1 Tích của hai số
• 1.1 Tích của 2 số tự nhiên
• 1.2 Tích của 2 số nguyên
• 1.3 Tích của 2 phân số
• 1.4 Tích của 2 số thực
• 1.5 Tích của 2 số phức
• 1.5.1 Ý nghĩa hình học của phép nhân số phức
• 1.6 Tích của 2 quaternion
• 2 Tích của chuỗi số
• 3 Vành giao hoán
• 3.1 Các lớp dư của số nguyên
• 3.2 Vành các hàm
• 3.3 Tích chập
• 3.4 Vành đa thức
• 4 Tích trong đại số tuyến tính
• 4.1 Phép vô hướng
• 4.2 Tích vô hướng
• 4.3 Tích chéo trong không gian 3 chiều
• 4.4 Tích của ánh xạ tuyến tính
• 4.5 Tích của 2 ma trận
• 4.6 Tích của hàm tuyến tính như tích ma trận
• 4.7 Tích Tensor của không gian vector
• 4.8 Các lớp của tất cả đối tượng với tích tensor
• 4.9 Các tích khác trong đại số tuyến tính
• 5 Tích Descartes
• 6 Tích rỗng
• 7 Tích trên các cấu trúc đại số khác
• 8 Các tích trong lý thuyết phân loại
• 9 Ctích khác
• 10 Xem thêm
• 11 Tham khảo
• 12 Liên kết ngoài

Tích của hai sốSửa đổi

Tích của 2 số tự nhiênSửa đổi

3 nhân 4 bằng 12

Đặt các viên đá vào một hình chữ nhật có r {displaystyle r}

hàng và  s {displaystyle s}

cột cho ra  r s = i = 1 s r = j = 1 r s {displaystyle rcdot s=sum _{i=1}^{s}r=sum _{j=1}^{r}s}

viên đá.

Tích của 2 số nguyênSửa đổi

Số nguyên gồm số dương và số âm. Hai số được nhân tương tự các số tự nhiên, ngoại trừ quy tắc bổ sung về dấu của kết quả:  × + + + + {displaystyle {begin{array}{|c|c  c|}hline times &-&+\hline -&+&-\+&-&+\hline end{array}}}

Nói thành lời:

• Âm nhân Âm ra Dương
• Âm nhân Dương ra Âm
• Dương nhân Âm ra Âm
• Dương nhân Dương ra Dương

Tích của 2 phân sốSửa đổi

Nhân hai phân số bằng cách nhân tử số với tử số, mẫu số với mẫu số:  z n z n = z z n n {displaystyle {frac {z}{n}}cdot {frac {z’}{n’}}={frac {zcdot z’}{ncdot n’}}}

Tích của 2 số thựcSửa đổi

Xem Xây dựng trường số thực cho định nghĩa chính xác của tích của 2 số thực.

Tích của 2 số phứcSửa đổi

Nhân 2 số phức bằng luật phân phối và định nghĩa  i 2 = 1 {displaystyle mathrm {i} ^{2}=-1}

:  ( a + b i ) ( c + d i ) = a c + a d i + b c i + b d i 2 = ( a c b d ) + ( a d + b c ) i {displaystyle {begin{aligned}(a+b,mathrm {i} )cdot (c+d,mathrm {i} )&=acdot c+acdot d,mathrm {i} +bcdot c,mathrm {i} +bcdot dcdot mathrm {i} ^{2}\&=(acdot c-bcdot d)+(acdot d+bcdot c),mathrm {i} end{aligned}}}

Ý nghĩa hình học của phép nhân số phứcSửa đổi

Biễu diễn số phức trong hệ tọa độ cực.

Số phức có thể được viết trong hệ tọa độ cực:  a + b i = r ( cos ( φ ) + i sin ( φ ) ) = r e i φ {displaystyle a+b,mathrm {i} =rcdot (cos(varphi )+mathrm {i} sin(varphi ))=rcdot mathrm {e} ^{mathrm {i} varphi }}

Hơn thế,  c + d i = s ( cos ( ψ ) + i sin ( ψ ) ) = s e i ψ {displaystyle c+d,mathrm {i} =scdot (cos(psi )+mathrm {i} sin(psi ))=scdot mathrm {e} ^{mathrm {i} psi }}

, mà từ đó ta có:  ( a c b d ) + ( a d + b c ) i = r s ( cos ( φ + ψ ) + i sin ( φ + ψ ) ) = r s e i ( φ + ψ ) {displaystyle (acdot c-bcdot d)+(acdot d+bcdot c),mathrm {i} =rcdot scdot (cos(varphi +psi )+mathrm {i} sin(varphi +psi ))=rcdot scdot mathrm {e} ^{mathrm {i} (varphi +psi )}}

Ý nghĩa hình học là chúng ta nhân các độ dài và cộng các góc.

Tích của 2 quaternionSửa đổi

Tích của 2 quaternion có thể được tìm thấy trong bài viết về quaternions. Tuy nhiên cũng cần lưu ý điểm thú vị rằng  a b {displaystyle acdot b}

và  b a {displaystyle bcdot a}

nói chung là phân biệt.

Tích của chuỗi sốSửa đổi

Toán tử đại diện tích của một chuỗi số là ký tự Hy Lạp viết hoa pi  (tương tự việc sử dụng ký tự viết hoa Sigma  để đại diện tổng). Tích của chuỗi chỉ gồm một số chính là số đó. Tích của không phần tử nào được gọi là tích rỗng và bằng 1.

Vành giao hoánSửa đổi

Vành giao hoán có một phép nhân.

Các lớp dư của số nguyênSửa đổi

Các lớp dư trong vành  Z / N Z {displaystyle mathbb {Z} /Nmathbb {Z} }

có thể cộng với nhau:  ( a + N Z ) + ( b + N Z ) = a + b + N Z {displaystyle (a+Nmathbb {Z} )+(b+Nmathbb {Z} )=a+b+Nmathbb {Z} }

và nhân được với nhau:  ( a + N Z ) ( b + N Z ) = a b + N Z {displaystyle (a+Nmathbb {Z} )cdot (b+Nmathbb {Z} )=acdot b+Nmathbb {Z} }

Vành các hàmSửa đổi

Hàm số thực có thể cộng và nhân nhau bằng cách nhân kết quả của chúng:  ( f + g ) ( m ) := f ( m ) + g ( m ) {displaystyle (f+g)(m):=f(m)+g(m)}

( f g ) ( m ) := f ( m ) g ( m ) {displaystyle (fcdot g)(m):=f(m)cdot g(m)}

Tích chậpSửa đổi

Tích chập của sóng vuông với chính nó cho phép các hàm tam giác

Hai hàm đồng hóa có thể nhân nhau theo một cách khác gọi là tích chập.

Nếu  | f ( t ) | d t < và | g ( t ) | d t < , {displaystyle int limits _{-infty }^{infty }|f(t)|,mathrm {d} t<infty qquad {mbox{và}}qquad int limits _{-infty }^{infty }|g(t)|,mathrm {d} t<infty ,}

thì tích phân  ( f g ) ( t ) := f ( τ ) g ( t τ ) d τ {displaystyle (f*g)(t);:=int limits _{-infty }^{infty }f(tau )cdot g(t-tau ),mathrm {d} tau }

được định nghĩa và gọi là tích chập.

Dưới biến đổi Fourier, tích chập trở thành phép nhân hàm điểm.

Vành đa thứcSửa đổi

Tích của 2 đa thức được định nghĩa:  ( i = 0 n a i X i ) ( j = 0 m b j X j ) = k = 0 n + m c k X k {displaystyle left(sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}right)cdot left(sum _{j=0}^{m}b_{j}X^{j}right)=sum _{k=0}^{n+m}c_{k}X^{k}}

trong đó  c k = i + j = k a i b j {displaystyle c_{k}=sum _{i+j=k}a_{i}cdot b_{j}}

Tích trong đại số tuyến tínhSửa đổi

Phép vô hướngSửa đổi

Bằng định nghĩa của không gian vector, ta có thể lập tích vô hướng của bất kỳ vector nào, với ánh xạ  R × V V {displaystyle mathbb {R} times Vrightarrow V}

.

Tích vô hướngSửa đổi

Tích chéo trong không gian 3 chiềuSửa đổi

Tích của ánh xạ tuyến tínhSửa đổi

Tích của 2 ma trậnSửa đổi

Tích của hàm tuyến tính như tích ma trậnSửa đổi

Tích Tensor của không gian vectorSửa đổi

Các lớp của tất cả đối tượng với tích tensorSửa đổi

Các tích khác trong đại số tuyến tínhSửa đổi

Tích DescartesSửa đổi

Tích rỗngSửa đổi

Tích trên các cấu trúc đại số khácSửa đổi

Các tích trong lý thuyết phân loạiSửa đổi

Ctích khácSửa đổi

Tích của 2 nhân tử

Xem thêmSửa đổi

• Tích Deligne tensor của phân loại Abel

Tham khảoSửa đổi

Liên kết ngoàiSửa đổi

• Product on Wolfram Mathworld
• Product trên PlanetMath.