Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng nhanh nhật

Mục lục bài viết

Định nghĩa góc giữa 2 mặt phẳng
Cách xác định góc giữa 2 mặt phẳng
Phương pháp tính góc giữa 2 mặt phẳng
Bài tập ví dụ tính góc giữa 2 mặt phẳng

Bài viết góc giữa 2 mặt phẳng bao gồm: cách xác định góc giữa 2 mặt phẳng, tính góc giữa 2 mặt phẳng, công thức tính góc giữa 2 mặt phẳng, góc giữa 2 mặt phẳng trong không gian oxyz

Nội dung chính

Định nghĩa góc giữa 2 mặt phẳng
Cách xác định góc giữa 2 mặt phẳng
Phương pháp tính góc giữa 2 mặt phẳng
Bài tập ví dụ tính góc giữa 2 mặt phẳng
Video liên quan

Định nghĩa góc giữa 2 mặt phẳng

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.

Cách xác định góc giữa 2 mặt phẳng

TH1: Hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng ${0^0}$ .

TH2: Hai mặt phẳng không song song hoặc trùng nhau.

Cách 1:

+) Dựng hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng và .

+) Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng và là góc giữa hai đường thẳng .

Cách 2:

+) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng .

+) Tìm một mặt phẳng vuông góc và cắt và hai mặt phẳng theo các giao tuyến .

+) Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa và .

Phương pháp tính góc giữa 2 mặt phẳng

Bài toán: Cho hai mặt phẳng và cắt nhau, tính góc giữa hai mặt phẳng và

Ta áp dụng một trong các phương pháp sau đây:

Phương pháp 1
Dựng hai đường thẳng , lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng và . Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng và là Tính góc

Phương pháp 2
+ Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng và
+ Dựng hai đường thẳng , lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến tại một điểm trên Khi đó:

Hiểu cách khác: Ta xác định mặt phẳng phụ vuông góc với giao tuyến mà , Suy ra

Phương pháp 3 (trường hợp đặc biệt)

Nếu có một đoạn thẳng nối hai điểm , mà thì qua hoặc ta dựng đường thẳng vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng tại Khi đó

Bài tập ví dụ tính góc giữa 2 mặt phẳng

Ví dụ 1. Cho hình chóp tứ giác đều cạnh đáy bằng và Tính góc giữa hai mặt phẳng và

Lời giải:

Gọi là trung điểm Do tam giác và đều nên:
$left{ begin{array}{l} BI bot SA\ DI bot SA end{array} right.$
Áp dụng định lý cho tam giác ta có:
$cos widehat {BID} = frac{{I{B^2} + I{D^2} - B{D^2}}}{{2IB.ID}}$ $= frac{{{{left( {frac{{sqrt 3 }}{2}a} right)}^2} + {{left( {frac{{sqrt 3 }}{2}a} right)}^2} - {{left( {asqrt 2 } right)}^2}}}{{2.frac{{sqrt 3 }}{2}a.frac{{sqrt 3 }}{2}a}}$ $= - frac{1}{3}.$
Vậy $cos left( {widehat {left( {SAB} right),left( {SAD} right)}} right) = frac{1}{3}.$

Ví dụ 2. Cho hình chóp có đáy là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính , vuông góc với và Tính góc giữa hai mặt phẳng và

Lời giải:

Vì là nửa lục giác đều nên
Dựng đường thẳng đi qua và vuông góc với
Trong mặt phẳng dựng tại
Trong mặt phẳng dựng
Dựng đường thẳng đi qua và vuông góc với
Trong mặt phẳng dựng
Lại có vì $left{ begin{array}{l} BC bot AC\ BC bot SA end{array} right.$
Vậy

Suy ra góc giữa hai mặt phẳng và là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng ấy là và
Ta tính góc , có $AH = sqrt {A{D^2} - H{D^2}}$ $= sqrt {{a^2} - frac{{{a^2}}}{4}} = frac{{asqrt 3 }}{2}.$
$Rightarrow frac{1}{{A{P^2}}} = frac{1}{{A{S^2}}} + frac{1}{{A{H^2}}}$ $Rightarrow AP = frac{{asqrt 3 }}{{sqrt 5 }}.$
Tam giác vuông cân tại $Rightarrow AQ = frac{{SC}}{2} = frac{{asqrt 6 }}{2}.$
vuông tại $Rightarrow cos widehat {PAQ} = frac{{AP}}{{AQ}} = frac{{sqrt {10} }}{5}$ $= arccos frac{{sqrt {10} }}{5}.$

Ví dụ 3. Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông cân với , , Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh Tính góc giữa hai mặt phẳng và

Lời giải:

Nhận xét: Giao tuyến của hai mặt phẳng và là đường thẳng đi qua và song song với và nên ta xác định hai đường thẳng qua và lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và và cùng vuông góc với (ta đi chứng minh hai đường thẳng đó là và ).

Vì $left{ begin{array}{l} EF subset left( {SEF} right)\ BC subset left( {SBC} right)\ EF {rm{//}} BC end{array} right.$ giao tuyến của và là đường thẳng qua , song song với , là

Ta có $left{ begin{array}{l} BC bot AB\ BC bot SAleft( {vì SA bot left( {ABC} right)} right) end{array} right.$ hay
Tương tự mà
Vậy và cùng đi qua và cùng vuông góc với nên góc giữa hai mặt phẳng và bằng góc giữa hai đường thẳng và
Ta tính góc
Có $SE = sqrt {S{A^2} + A{E^2}} = frac{{asqrt 5 }}{2}$ ; $SB = sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = asqrt 2$ ; $BE = frac{a}{2}.$
Theo định lí ta có: $cos widehat {BSE} = frac{{S{E^2} + S{B^2} - B{E^2}}}{{2.SE.SB}}$ $= frac{3}{{sqrt {10} }}$ $Rightarrow widehat {BSE} = arccos frac{3}{{sqrt {10} }}.$
Sotayhoctap chúc các bạn học tốt!